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たいへん現実的で難しい状況ですね。
法的観点から整理すると、相続放棄・限定承認の検討中に「被相続人の財産を処分する行為」を行うと、場合によっては「相続を単純承認した」とみなされるおそれがあります（民法921条1号）。
そのため、不用物の処分や部屋の原状回復行為は慎重に進める必要があります。

1．原則：処分＝単純承認のリスク
民法921条1号では、「相続人が相続財産の全部又は一部を処分したとき」は、相続の単純承認をしたものとみなす
とされています。したがって、壊れた冷蔵庫・家具などを勝手に廃棄すれば、形式的には「処分行為」と見なされる可能性があります。
2．例外：保存行為・管理行為は可能
ただし、相続放棄や限定承認を検討している段階でも、
財産の「保存」または「管理」のための行為は認められています（民法940条）。
例えば次のような行為は通常「保存・管理」とされ、単純承認にはあたりません。
賃貸契約の解除（家賃滞納を防ぎ損害拡大を防止するため）
ゴミや腐敗物の除去（衛生上や建物損壊防止のため）
盗難・火災防止のための最低限の整理
このため、「衛生・安全のための掃除」「大家への迷惑防止のための撤去」という趣旨で行う範囲なら、単純承認にはならないと考えられます。
3．現実的な対応策
おすすめの手順は次の通りです。
写真で現況を記録
　部屋全体・家電・家具の状況を撮影しておきます（「明らかに価値がない」と説明できるように）。
不動産管理会社・家主に文書またはメールで相談
　「相続放棄を検討中だが衛生上の問題があるため、管理のために最低限の清掃をしたい」旨を伝えておきましょう。
自治体の大型ゴミ回収などを利用して廃棄
　売却・転用はせず、「廃棄」として処分することで、経済的価値を得ないようにします。
価値が不明なもの（貴金属・高価家電・通帳など）はそのまま保管または封印
　家庭裁判所に限定承認や放棄を申し立てる際に「保管品」として報告できるようにしておくのが安全です。
4．もし確実に安全を期したいなら
家庭裁判所に「相続財産管理人選任の申立て」（放棄予定の場合）を行い、
その管理人に部屋の整理・退去を任せるという方法もあります。
ただし、手続に数週間〜数ヶ月かかることがあります。
まとめると、
「衛生・安全確保・退去のための最低限の清掃・撤去」であり、経済的価値を得ない範囲
であれば、「管理行為」として認められる可能性が高いです。
とはいえ、形式的にはグレーな領域なので、作業前に「相続放棄を検討中」と明示して証拠を残すことが非常に重要です。

財産の管理と相続放棄は本質的には別の問題です。
ここで言う管理とは、物件の修繕や税金の支払いなどを指すと思われますが、これを行ったからと言って、相続放棄が認められなくなるわけではありません。

相続放棄について説明いたします。
相続が開始したら、相続を放棄するには3ヶ月以内に家庭裁判所へ相続放棄の手続きを行う必要があります。
その期間を過ぎると相続放棄はできなくなりますが、その期間内であれば財産の管理をしていても相続放棄は可能です。
ただし、一度相続を受け入れた（相続財産の譲渡、 売却等を行った）場合は、後で相続放棄をすることはできませんので、ご注意ください。

また、別途、相続放棄を行った際、放棄の時に遺産を現に占有しているときは、これを相続人または相続財産清算人に引き渡すまでの間、事故の財産と同一の注意をもって保存するべき責任は負うことになります。
したがって、放棄の時に現に占有している遺産がある場合、この責任から免れるためには、相続人に引き渡す必要があり、また、他に相続人がいない場合は基本的に相続財産清算人の選任申立てを行ったうえで相続財産清算人に引き渡す必要があります。

以上は一般的な説明ですが、具体的な事情により解釈に違いが出ることがあります。
具体的な手続きについては、弁護士または司法書士にご相談されることをお勧めいたします。

遺産に全く興味がない状態であり、とにかく縁を切っておきたいということであれば、相続放棄を選択すべきことになります。

遺産に興味がある場合、相続放棄の熟慮期間内に遺産と負債の調査をして相続するか相続放棄をするかを決め、相続放棄をするのであれば熟慮期間内に家庭裁判所に相続放棄の申立てをすることになります。

相続放棄の熟慮期間内にその調査が終わりそうにない場合には、家庭裁判所に相続放棄熟慮期間伸長の手続を行い、調査機関を伸ばしてもらう必要があります。

相続財産を費消してしまった場合には民法９２１条１号により相続を承認したとみなされてしまうので，放棄を検討している場合には相続財産から今後の生活費や葬儀費を支弁することは難しく，ご親族の助力を得るしかないように思われます。
放棄するか承認するかは，調査を要することであり，放棄の三か月という期間制限では時間が足りない場合には，家庭裁判所に対し期間伸長の申立てをして対応することになります。期限直前では対応できない場合もありますので，早めに手続をされた方がよいでしょう。
債務調査の方法ですが，絶対の方法はなく，家捜しなど債権者の当たりを付けて照会するということになろうかと思います。被相続人死亡の戸籍を付けて調査を目的とする照会と伝えれば，一般的な貸金業者や金融機関であれば普通に対応してくれますので特に心配する必要はありません。

相続放棄をする必要があるかといえば、必要はないように思えます。

もし、20年以上前の負債があるならば、時効により債権は消滅します。

今後、保証会社からの請求が来ましたら、弁護士に相談すればすぐに解決できます。

ただ、いつ請求されるかわからないご不安を抱えながら生活されるのであれば、相続放棄も方法であると思います。

実母様の放棄の手続も可能ですが、ご本人確認のためにも本人が当事務所にお越し頂く必要があります。

当事務所では、多数の相続放棄の手続を行っておりますので、是非ご検討下さい。

大阪高裁平成14年7月3日決定によると、被相続人の財産から葬儀費用を支出したことについて、「葬儀は、（中略）社会的儀式として必要性が高いものである。（中略）葬儀を執り行うためには、必ず相当額の支出を伴うものである。これらの点からすれば、被相続人に相続財産があるときは、それをもって被相続人の葬儀費用に充当しても社会的見地から不当なものとはいえない。」として法定単純承認に当たらないとしています。
この裁判例に照らして考えれば、身分相応の葬儀費用とお布施等を遺産の中から支払ったとしても、法定単純承認には該当しないものと思われます。

ご相談のケースですが、委任というのは、本人からなされる必要があります。
ただし、お母様がご高齢などの理由であれば、お母様からの直接の委任という点は変わりませんが、弁護士が、相談者様を通じて委任状をお母様にはんこを押すという形で対応していただき（典型的には、ご相談者様に委任状を渡しますので、お母様の署名押印をいただく）、弁護士が手続を代理するような対応は可能なことが多いです。
また、放棄後の後順位相続人への連絡等も、弁護士に任せるとよいと思います。