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ご質問の内容をみますと、法律的には２つの内容が含まれていると思われます。
①相続放棄をしたいができるかどうか
②６０万円を長男へ渡したいがその方式作法

①について
さて、まず、「相続放棄」というのは本来的意味としては、家庭裁判所に、相続開始後３か月以内に申述する公的なものです。
これを行うということで説明をすると、母親の生前、６０万円を出金していた点も少し検討が要りますが、生前なら本人の承諾があり、本人のために出勤及び支払をしたということになりますので、本来問題はありません。
ただし、使途に葬儀代があるので、さらに検討が要りますが、いずれにせよ長男にお渡しするので、相続放棄の障害となる財産処分には当たらないと見て良いでしょう。
一応、ここのお金の動きが怪しいと、利害関係人から相続放棄に異議が出るかもしれませんから、はっきりと記録を手元に残しておいてください。

②について
特に決まった様式はありません。長男に清算のために渡すのであれば、公的なものでは無いからです。ただし、上記①の最後に書いた通り、あとから疑義が出ないように、はっきりと記載したものを手元に残しておきましょう。

上記①と②に共通することですが、長男との関係は良好でしょうか。
そうであれば、それほど懸念することはないですが、関係が悪い場合ちょっと慎重にならなければなりません。その際は、弁護士事務所に相談に行くことをおすすめします。

結論から申し上げますと、お母様の行為は、法律上単純承認にあたり、相続放棄はできなくなります。
お父様死亡前の病院の支払いや生前の税金の支払いなど、金額にもよりますが、単純承認の対象とならない場合も考えられます。しかしながら、相談者の方の場合、車両の名義変更をした上、売却までされていますので、お母様については相続放棄は難しいのではないかと考えます。ただ、相談者の方やお姉さまについては、相続放棄ができる可能性があります。法律相談等、弁護士への面談をお勧めします。売買の書面、税金支払いの書面、その他の書面等を面談で弁護士に確認の上、今後について相談された方がよろしいかと考えます。

放棄は相続財産ではなく被相続人ごとに行うものですので，再度，手続が必要になります。

財産の管理と相続放棄は本質的には別の問題です。ここで言う管理とは、物件の修繕や税金の支払いなどを指すと思われますが、これを行ったからと言って、相続放棄が不能になることはありません。

相続を受け入れた（相続財産の譲渡、 売却等を行った）場合は、後で相続放棄をすることはできませんが、これは相続開始後、つまりお父様が亡くなられた後の事象ですので、お父様の生前に管理をしても相続放棄は可能です。

相続放棄をすれば、（相談者様が連帯保証人になっている等特別な事情がない限り）請求からは解放されることになります。

お困りとのことご回答させていただきます。

相続においては、一部のみ相続放棄するという制度はありません。

①丙が死亡した後に乙が丙の相続を放棄していないのであれば（原則として相続開始から３か月以内に行う必要があります。）、既に乙は丙を相続していますので、乙が亡くなった場合、甲と甲の子供の選択肢としては、乙と丙から相続した財産をまとめて相続するか、まとめて放棄するしかありません。現時点では、元々の乙の財産と丙から相続した財産が乙という１人の人格が保有する財産になっているからです。したがって、乙の財産のみ相続し丙の財産を放棄することはできません。

②上記①のとおり、「乙の財産のみ相続し丙の財産を放棄」することはできませんので、遺産分割協議の有無にかかわらず、丙の財産のみ放棄することはできません。

③ご質問の趣旨は、上記②の質問の答えがイエスだった場合の質問かと思われますが、上記②の回答のとおり、遺産分割協議の有無にかかわらず、丙の財産のみ放棄することはできません。
（ちなみに、本来のご質問の趣旨からは逸れると思いますが、一般的には、遺産分割協議書が作成されていない場合には、遺産分割協議が整ったと主張する側が協議が成立したことを証明する必要があります。）