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相続放棄については、亡くなった方（被相続人）の最後の住所地管轄の家庭裁判所に行う必要があります。
必要書類の収集・申立書の作成を行う必要がありますので、それらをご自身らで行うことが出来れば弁護士に依頼する必要はありません。
注意すべき点としては、相続放棄が出来る期間は、相続開始を知った時から、３か月以内となりますので、急いで行う必要がございます。

結論から申し上げると、相続放棄は可能です。
相続放棄は、相続の開始を知ってから３カ月以内にする必要があります。
今回のご相談内容では、相続の開始を知ったのは、裁判所からの訴状を受領した時点になります。
また、相続放棄した場合に、お母様が相続人となることはありませんので、ご安心ください。

ご相談内容に「2人の娘」との記載がありますが、どなたの娘さんでしょうか。被相続人である「兄」には子がいないとして回答します。
　相続放棄をした場合の管理義務につきましては、民法940条が改正され、「相続放棄をした者が放棄の時に「相続財産に属する財産を『現に占有しているとき』」は、管理人が選任されるまでの間、その財産を保存しなければならないという規定に改正されました。
したがいまして、ご質問の当該「家」にお母様が現に居住していなかった場合には、放棄した後にその家を保存する義務を負うことはありません。したがいまして、相続放棄をされてもご心配されるリスクは少ないと考えます。

　　弁護士白濱重人

相続放棄とのことですから、基本的には御父様の亡くなった日から３か月以内に、それぞれの相続人が裁判所に手続きを行う必要があります。
取りまとめ役をご自身が行うことはできますが、申請自体はそれぞれになりますから、ご注意ください。
手続をみさなんで同じ弁護士に依頼することはできますが、今回の場合、お母様が施設に入っている点が少し気になります。
弁護士に依頼する場合、委任状という書類にサインすることができますが、お母様はそういった書類に署名できる状態でしょうか。痴呆などがある場合で、これが難しいとなると、より詳しく専門家に相談する必要があります。

・これらの手続きを存命中に進めた場合、相続放棄に影響ありますか？

→問題ないでしょう。

・また手続き中に死亡した場合はどうなりますか？

→亡くなったことを市営住宅側に連絡して（担当者が知っているとは限らないので）、市営住宅側の指示に従えばいいでしょう。

・死亡後に家財処分の費用を本人の財産から払ったら、相続放棄できないと聞きました。生活保護から扶助がある場合は、本人の財産から払ったと見なされますか？

→大阪高裁平成14年7月3日決定によると、被相続人の財産から葬儀費用を支出したことについて、「葬儀は、（中略）社会的儀式として必要性が高いものである。（中略）葬儀を執り行うためには、必ず相当額の支出を伴うものである。これらの点からすれば、被相続人に相続財産があるときは、それをもって被相続人の葬儀費用に充当しても社会的見地から不当なものとはいえない。」として法定単純承認に当たらないとしています。この裁判例に照らして考えれば、家財道具の処分費用を本人の財産から支払ったとしても、「社会的見地から不当なもの」とは言えないでしょうから、法定単純承認にはならないものと思われます。もっとも、心配な場合は弁護士の面談相談をされたほうがいいでしょう。

・預かっている通帳や保険証書は、そのまま親族が持っておいて良いのでしょうか？

→「持っておく」だけならいいですが、預金を引き出すと法定単純承認に当たる可能性がありますので、引き出し行為はしない方が賢明かと思います。

連絡の義務はないですが，連絡したほうが丁寧なのと，むしろ，ご自身にとってもこれ以上余計な連絡を受けずに済むように思います。
最終的には相続放棄申述受理証明書もしくは相続放棄申述受理通知書の写しを送って放棄の事実を明らかにする必要があります。

相続放棄した場合，次順位の人が相続人になりますが，ご相談者が放棄した場合には，ご相談者の相続人が新たに相続人になる訳ではありませんので，ご心配は無用です。