全国の相談に対応できる不動産の相続に強い来所不要な弁護士事務所一覧

ご両親様の面倒のご趣旨が財産管理に関することであれば、ご両親様との間で財産管理、任意後見契約に関する公正証書の作成をされることをお勧めします。詳細等はご連絡頂けますとご説明できると思います。

不動産の売却については、お母様の御意思が明確でないと、まともな司法書士が登記をしてくれません（それ自体は正しいことです）から、手間がかかりますが、本来的に正当な方法を行う必要があります。
この場合、お母様に成年後見人を付ける等、家庭裁判所に申し立てをして、お母様の施設費用捻出を理由に御実家を売却する手続きをすることになります。
ただし、ある程度時間と手間がかかりますから、なるべく早く行う方が良いと思います。

一度だけ肩代わり支払いをしたことで支払う方が固定するということはないと考えます。

しかし伯父様名義での持分はご兄弟で相続していることになるのではないでしょうか。兄弟全員が相続放棄をしていれば別ですが。
したがって、固定資産税の支払義務は役所としては兄弟で支払って欲しいということになるかと思いますし、それを否定できるだけの理由が内容に思われます。

取り急ぎ。

まず，銀行の要望は義務ではありませんので，承諾するか否かはご相談者の自由です。

事案の詳細がわかりませんが，将来お母様がお亡くなりになった場合には相続が生じ，ローン（負債）が残っていればそれも相続の対象となります。相続は放棄が可能ですが，その場合には当然プラスの財産も放棄することとなりますので，負債も含め承継するか全て放棄をするのか，どちらかを選択する必要があります。
そのどちらを選択するのが得策なのか考えた上，今回の件についても要望に応じるか否か検討するのがよいと思います。

名義変更せずに売却することはできません。弟さんと連絡が取れないのであれば、家庭裁判所に「不在者財産管理人」を選任してもらい、不在者財産管理人の同意を得て売却することになります。

ご相談のように、遺言が長期間執行されないまま受遺者が死亡した場合の取扱いについては、一般論としては、以下のとおり整理されるかと思います。

＞遺言者の死亡により遺言の効力が生じた後で、遺言の執行をせずに放置したまま受遺者が死亡した場合はどうなるのでしょうか？遺言が無効になるのか？
＞遺言には一般債権のような時効があるのか？それとも、遺言が有効な限りは、受遺者の相続人にその権利が引き継がれるのか？

遺言は遺言者（本件ではお祖母さま）の死亡時に効力が生じており、その時点で遺贈は有効に成立します（特定の不動産の遺贈であれば、一般に、所有権は遺言者の死亡時に受遺者に移転すると解されています）。
その後、遺言の執行手続（たとえば所有権移転登記など）が長期間行われなかったとしても、そのことを直接の理由として遺言の効力が無効になることは通常ありません（一般債権のような消滅時効の制度はありません）。

そして、受遺者がその後に死亡した場合には、受遺者が取得した権利・地位は、その相続人に承継されます。

＞もし、受遺者の相続人に遺言書の権利が引き継がれるなら、たとえ遺言自体が執行されていなくても、もはや相続人としての責任はなくなるのでしょうか？（例えば、相続登記の義務や固定資産税の支払い等）

この点については、責任がなくなるわけではありません。

まず、遺言者の相続人は、遺贈を実現するための手続（登記への協力など）を行う義務を負います。

また、固定資産税については、登記名義が遺言者のままである場合には、市役所等との関係では、遺言者の法定相続人が納税義務者として扱われる可能性が高いです。
もっとも、実質的には受遺者（現在はその相続人）が不動産を所有する状態にありますので、遺言者の相続人が負担した税金については、受遺者の相続人に対して精算（求償）を求める余地があります。

本件は、遺言の未執行期間が長期に及んでいることから、権利関係が複雑化している可能性があります。
具体的な事情によって適切な進め方が変わることも十分に考えられますので、一度、資料一式をもとに専門家へご相談のうえ、整理・対応されることをおすすめいたします。

借地権については、第三者に借地権付建物を売却する、地主に買い取ってもらう、地主から所有権を譲り受ける、地主と協力して借地権付建物を売却する、といった選択肢があります。手続きとしては民事調停がいいのかと思います。