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ご相談のように、遺言が長期間執行されないまま受遺者が死亡した場合の取扱いについては、一般論としては、以下のとおり整理されるかと思います。

＞遺言者の死亡により遺言の効力が生じた後で、遺言の執行をせずに放置したまま受遺者が死亡した場合はどうなるのでしょうか？遺言が無効になるのか？
＞遺言には一般債権のような時効があるのか？それとも、遺言が有効な限りは、受遺者の相続人にその権利が引き継がれるのか？

遺言は遺言者（本件ではお祖母さま）の死亡時に効力が生じており、その時点で遺贈は有効に成立します（特定の不動産の遺贈であれば、一般に、所有権は遺言者の死亡時に受遺者に移転すると解されています）。
その後、遺言の執行手続（たとえば所有権移転登記など）が長期間行われなかったとしても、そのことを直接の理由として遺言の効力が無効になることは通常ありません（一般債権のような消滅時効の制度はありません）。

そして、受遺者がその後に死亡した場合には、受遺者が取得した権利・地位は、その相続人に承継されます。

＞もし、受遺者の相続人に遺言書の権利が引き継がれるなら、たとえ遺言自体が執行されていなくても、もはや相続人としての責任はなくなるのでしょうか？（例えば、相続登記の義務や固定資産税の支払い等）

この点については、責任がなくなるわけではありません。

まず、遺言者の相続人は、遺贈を実現するための手続（登記への協力など）を行う義務を負います。

また、固定資産税については、登記名義が遺言者のままである場合には、市役所等との関係では、遺言者の法定相続人が納税義務者として扱われる可能性が高いです。
もっとも、実質的には受遺者（現在はその相続人）が不動産を所有する状態にありますので、遺言者の相続人が負担した税金については、受遺者の相続人に対して精算（求償）を求める余地があります。

本件は、遺言の未執行期間が長期に及んでいることから、権利関係が複雑化している可能性があります。
具体的な事情によって適切な進め方が変わることも十分に考えられますので、一度、資料一式をもとに専門家へご相談のうえ、整理・対応されることをおすすめいたします。

上記の質問は、税金の問題ですので、弁護士は専門外です。
税理士に聞かれてください

回答いたします。
地主に借地権を引き取ってもらうということでしたら、地主が買う意向がなければ買い取ってもらうことはできません。
第三者に売却するということでしたら、買い取りたい第三者を見つければ売却できる可能性があります。

CLOVER法律事務所の代表弁護士の宇田川です。
不動産が絡む相続案件を数多くご依頼頂いてきましたが、相続人間において、もっともよい分割方法を検討する必要があります。
その意味では、弁護士としての交渉力やまとめる力のみならず、不動産の知識が必要にないます。
不動産の分割方法は複数あり、選択を誤ると結果的に相続人全員が損をしてしまうリスクがあります。たとえば、1つの土地を分筆して各相続人が取得するという分け方（現物分割）がありますが、土地は分けると小さくなるため、元々の広さであれば建てられたはずの高い建物が建てられなくなる可能性があるのです。
現物分割が適する場合もありますが、そうでない場合は土地を分筆することで活用方法が狭まったり、価値が下がったりする恐れがあります。どの分け方が依頼者にとって最も利益になるのか、事案に応じてベストな方法を検討しながら進めることが重要です。

また、不動産鑑定士、司法書士、税理士、複数の不動産仲介業者などの専門家とのネットワークも不可欠です。

当事務所は初回相談無料ですので、一度、お気軽にご相談ください。

地主と祖母との間に賃貸借契約があったのでしょうね。
祖母の死亡により、貴方様が、祖母の賃借権を相続し、貴殿が借地人になったものと思われます。
もっとも、貴殿は、１０年程度、地代を支払っておりませんので、債務不履行があります。
地主から内容証明郵便で、貴殿との賃貸借契約について、債務不履行を理由に解除するという通知があったものと思われます。
１０年程度地代を支払っておらず、今後も、未払い地代を含めて支払う見込みがないのであれば、地主は、貴殿との賃貸借契約を解除することができますので、すでに貴殿には借地権はないものと考えられそうです。
借地権がない以上、貴殿は建物を解体して退去しなければなりません。
貴殿としては、解体費用、退去費用を支払えないことを説明して、地主さんに諸費用を負担してもらって、退去するという方向で、交渉することになるのかもしれません。
貴殿のお話から推測して、回答させていただいておりますので、かかる回答が間違っているかもしれません。債務整理を担当されている弁護士さんや、その他きちんと説明してくれる弁護士さんに、内容証明郵便や登記など資料等を持参した上で、相談されてみるとよいと思います。

借金返済の切迫度合いと、お母様の病状とを勘案して判断となりますが、「特定遺贈」の形で遺言書を遺しておき、後日、相続放棄をするという方法でも良いかと思います。
（但し、不動産の名義変更の際の登録免許税が増えてしまいます）

名義変更せずに売却することはできません。弟さんと連絡が取れないのであれば、家庭裁判所に「不在者財産管理人」を選任してもらい、不在者財産管理人の同意を得て売却することになります。