神奈川県で代襲相続に強い事業承継の相談対応可能な弁護士一覧

甥が亡くなった場合、叔父が相続人となることはありません。逆の場合（叔父が亡くなった場合）は、代襲相続によって甥が叔父の相続人となることはあります。

今回ご相談の事案のように、相続人不在の故人の財産から葬儀費用等を負担してもらうには、家庭裁判所に、「相続財産管理人」を選任してもらう必要があります。
故人の葬儀費用等を肩代わりした場合には、「利害関係人」として、家庭裁判所に対して、相続財産管理人選任の審判を申立てることが可能です。
そして、選任された相続財産管理人に対して、肩代わりした葬儀費用等の支払いの請求をすることができます。
請求を受けた相続財産管理人は、社会的に相当な金額の範囲内で、葬儀費用等を支払います。必ずしも肩代わりした全額が支払われるとは限りませんが、最低限度の葬儀等をした場合には、全額が支払われる可能性が高いでしょう。

文章・テキストの形だけですと、事案の概要がよく分かりません。
承継執行文付与の申立てがされているということは、何か判決が出ていて、判決の当事者(祖父様？)が死亡しているので、その相続人に対して申立てがされたということでしょうか。
もし、そうでしたら元になる判決の内容を確認する必要がございます。
書類をご持参の上、弁護士に直接、ご相談に行かれた方が良いかと思います。